Genişletilmiş Kalman Filtresi (EKF) Nedir?

Genişletilmiş Kalman Filtresi (EKF), Kalman filtresinin doğrusal olmayan sistemlere uyarlanmış hâlidir. Durum ve ölçüm fonksiyonlarını her adımda mevcut tahmin etrafında Jacobian matrisleriyle doğrusallaştırarak ortalama ve kovaryansı yaklaşık biçimde taşır.  

1. Neden doğrusal Kalman filtresi yetmez?

Kalman'ın 1960 tarihli çalışması, doğrusal dinamik sistemlerde durum kestirimini özyinelemeli bir yapıya oturttu [1]. Bu yapının cazibesi, her yeni ölçümde yalnızca bir önceki tahmini ve onun belirsizliğini saklamanın yeterli olmasıdır. Ancak bu sonuç, durumun zaman içindeki evriminin ve ölçümün durumla ilişkisinin doğrusal olmasına dayanır. 

Düzlemde konumu ve yönelimi ile tanımlanan bir aracı ele alalım. Bu aracın bir sonraki konumu; mevcut konumuna, hızın yönelim açısının sinüs ve kosinüs bileşenleri ile geçen zamanın çarpımından elde edilen yer değiştirme miktarının eklenmesiyle hesaplanır. Yönelim, durum vektörünün bir bileşeni olup konuma trigonometrik fonksiyonlar aracılığıyla doğrusal olmayan bir yapıda etki eder. Bu durumda biçiminde sabit bir matrisi tanımlamak mümkün değildir. Benzer biçimde, sabit bir işaretçiye (landmark) olan menzil ve açısal konum (bakış açısı) ölçümleri de durum değişkenlerinin doğrusal birer fonksiyonu değildir.

Bu durumda iki temel yaklaşım öne çıkar: Ya modeli uygun bir yöntemle doğrusallaştırmak ya da doğrusal olmayanlığı doğrudan ele alan alternatif bir yaklaşım seçmek. Genişletilmiş Kalman Filtresi (EKF), birinci yaklaşımın literatürdeki en yaygın temsilcisidir.

Doğrusal Kalman filtresini hatırlamak ya da EKF’ye geçmeden önce temelleri sağlamlaştırmak isterseniz “Kalman Filtresi: Ölçemediğin Bir Şeyi Matematikle Nasıl Tahmin Edersin?” ve “Kalman Filtresini Anlamak: Q, R, P ve K Matrislerinin Matematiksel Temelleri” yazılarına bakabilirsiniz [2], [3].  

2. Doğrusal olmayan model

Klasik Kalman Filtresi Neden Bu Kadar Kolaydır? (Doğrusal Dünya)

Standart Kalman Filtresi (Linear KF), sistemlerin ve ölçümlerin doğrusal (linear) olduğunu varsayar. Olasılık teorisinde harika bir kural vardır:

• Normal (Gauss) dağılımlı dağılımlı bir rastgele değişkeni doğrusal bir fonksiyondan geçirirseniz, çıkan sonuç yine kusursuz bir Gauss dağılımı olur.

Doğrusal dünyada ortalama () ve kovaryans () matrisleri katı kurallarla ve çok basit matris çarpımlarıyla (örneğin ) evrilir. Dağılımın şekli (o simetrik çan eğrisi) hiç bozulmaz; sadece biraz yayılır veya kayar.

EKF'nin ele aldığı genel model şudur:

Burada f durum geçiş fonksiyonu, h ölçüm fonksiyonudur ve ikisi de doğrusal olmak zorunda değildir. Gauss dağılımlı bir belirsizlik bulutu , , karekök ya da atan2 gibi bir fonksiyondan geçtiğinde sonuç artık simetrik bir çan eğrisi olmaz; bükülür ve asimetrik hâle gelir. Ortalaması ve kovaryansı hâlâ vardır, ancak bu iki büyüklük dağılımı tam olarak tanımlamaya yetmez ve tahmin adımı kapalı biçimde hesaplanamaz.

Pratik çözüm, dağılımı yine Gauss kabul edip yalnızca ortalamasını ve kovaryansını yaklaşık olarak taşımaktır. EKF bunu doğrusallaştırarak, UKF ise sigma noktalarıyla yapar. Bu yaklaşıklığın bedeli, filtrenin artık kesin değil yaklaşık olmasıdır; sonuçları 7. bölümde ele alınacak.

3. EKF'nin temel fikri: tahmin etrafında doğrusallaştırma

EKF'nin çözümü, f ve h fonksiyonlarını mevcut tahmin noktası etrafında birinci dereceden Taylor açılımıyla yaklaşıklamaktır [4]. f için açılım, önceki sonsal tahmin 

 civarında yapılır:

h için açılım, ölçüm öncesi tahmin 

civarında yapılır: 

Tüm bunları daha az matematik ve daha çok Türkçe ile açıklamak istersek, sistem eğri olmaya devam eder, ancak EKF her adımda yalnızca bulunduğu tahmin noktasına bir teğet çizer. O küçük çevrede dünyayı düz kabul ederek adımı atar, bir sonraki adımda teğeti günceller.

Fₖ ve Hₖ matrislerine gelirsek, onlar ilgili fonksiyonların Jacobian matrisleridir. Jacobian'ın (i, j) elemanı, fonksiyonun i. bileşeninin durumun j. bileşenine göre kısmi türevidir. Doğrusal Kalman filtresindeki sabit F ve H matrisleri, EKF'de her adımda yeniden hesaplanan Fₖ ve Hₖ ile yer değiştirir.

Burada kaçınılması gereken yaygın bir yanlış anlama vardır: doğrusallaştırma yalnızca kovaryansın ve kazancın hesabında kullanılır. Durum tahminini ilerletirken ve yeniliği hesaplarken doğrusal olmayan f ve h fonksiyonlarının kendisi kullanılır. Kovaryans bir durum değil, belirsizlik bulutunun geometrisidir. Belirsizlik bulutunun o anki eğimde nasıl esneyeceğini, hangi eksene ne kadar yayılacağını hesaplamak için türeve (eğime) yani Jakobiyen'e ( ve ) ihtiyacımız vardır.

Kısacası: Aracı hareket ettirirken  doğrusal olmayan modelin kendisini (f ve h) kullanırız; ama o hareketin yarattığı hatayı ve belirsizliği yönetirken yerel teğetlerden ( ve ) yardım alırız.  

4. EKF algoritması

Tahmin aşaması

Önceki sonsal durum () ve kontrol girdisi () kullanılarak bir sonraki adımın öncel (prior) tahminleri üretilir:  

Güncelleme aşaması

Ölçüm verisi () ile tahmin edilen durum birleştirilerek sonsal (posterior) değerler hesaplanır:  

        ( Kalman Kazancı )

      ( Durum Güncellemesi )

     (Kovaryans Güncellemesi)  

Doğrusal Kalman filtresiyle karşılaştırıldığında yapı aynıdır. Fark, durum ilerletmede Fx̂ yerine f(x̂), yenilikte zₖ − Hx̂ yerine zₖ − h(x̂) yazılması ve F ile H'nin her adımda tahmin noktasında hesaplanmasıdır [4], [5].

Sayısal kararlılık için kovaryans güncellemesinin Joseph biçimi tercih edilebilir:

Bu biçim, yuvarlama hataları nedeniyle P'nin simetrikliğini veya pozitif yarı tanımlılığını yitirmesini engellemeye yardımcı olur [4].

Yazının başında da bahsedilen ilk iki makaledeki gösterimle ilişkilendirmek gerekirse: Pₖ⁻ ve x̂ₖ⁻ ölçüm öncesi (öncel), Pₖ ve x̂ₖ ölçüm sonrası (sonsal) büyüklüklerdir.

5. Örnek: düzlemde hareket eden araç

Durum vektörü konum ve yönelimden oluşsun: x = [x, y, ψ]ᵀ. Kontrol girdisi olarak ölçülen boylamsal hız v ve yaw hızı ω kullanılsın. Basit bir kinematik model, örnekleme aralığı Δt ile şöyle yazılır [6]:

Bu denklemde ψ'nin sin ve cos içinde yer alması modeli doğrusal olmaktan çıkarır.

5.1 Durum Jacobian'ı

Fₖ = ∂f/∂x türevlerini alırsak:

Sayısal bir örnek: v = 10 m/s, Δt = 0,1 s, ψₖ₋₁ = 45° olsun. Bu durumda v Δt = 1 m ve sin 45° = cos 45° ≈ 0,7071 olur.

Yorum: yönelim tahminindeki küçük bir hata, bir adım sonra konum tahminine yaklaşık 0,7 m/rad oranında yansır. Filtre, yönelim belirsizliğini konum belirsizliğine bu yolla aktarır. Bu, doğrusal bir F ile yakalanamayacak bir etkileşimdir.

5.2 Gürültü girdisi üzerinden Q

Bu modelde belirsizliğin asıl kaynağı, v ve ω girdilerinin gürültülü ölçülmesi olabilir. Bu durumda gürültü, durum denklemine ’ye bağlı bir matrisi üzerinden girer.

 matrisi, kontrol girdilerindeki () küçük değişimlerin veya hataların, sistemin durum değişkenleri () üzerindeki türevsel etkisini (hassasiyetini) gösterir.

Fiziksel Karşılığı:

• Doğrusal hızdaki () bir hatanın ve konumlarını ne kadar etkileyeceği o anki yönelim açısına () bağlıdır ( ve katsayıları buradan gelir).

• Açısal hızdaki () bir hata ise doğrudan yönelim açısını () etkiler ( ile çarpılarak).

Not: 3×3 boyutlu olmasına rağmen yalnızca iki gürültü kaynağından türediği için rankı 2'dir. Hız gürültüsü konumu yalnızca aracın gidiş doğrultusunda etkiler. Yanal kayma gibi modellenmeyen etkiler için x ve y köşegenine küçük bir ek gürültü terimi eklenebilir.  

Bu yaklaşımın avantajı, Q'nun anlamını korumasıdır: σᵥ ve σω, ilgili girdi sensörlerinin standart sapmalarından belirlenebilir [4].  Matematiksel olarak daha net bir zemine oturtmak istediğimizde ise şu açıklamaları yapmamız faydalı olur:

Yukarıda vermiş bulunduğumuz 13. numaralı formül istatistikte hata yayılımı (error propagation) veya "sandwich" (sandviç) formülü olarak bilinir. Parça parça inceleyelim:

1. Girdi Gürültü Varyansları : Sensörlerin kendi karakteristik gürültülerini ifade eden matristir. , hız sensörünün varyansı; ise açısal hız sensörünün varyansıdır.

2. Dönüşümü: Girdilerin gürültü kovaryansını (hız uzayından) alıp, matrisleri aracılığıyla konum ve yönelim uzayına () dönüştürür

matrisi sabit değildir, her zaman adımında yeniden hesaplanır.

• Neden? Çünkü matrisinin içinde ve terimleri vardır.

• Araç yön değiştirdikçe ( açısı değiştikçe), hız gürültüsünün eksenine mi yoksa eksenine mi daha çok yansıyacağı değişir.

  • Örneğin araç tam Doğuya bakarken (), hızındaki gürültü neredeyse tamamen eksenindeki konumu etkiler.

  • Araç Kuzeye bakarken (), aynı hız gürültüsü eksenindeki konumu etkiler.

Bu yaklaşım, Kalman Filtresi'nin aracın o anki geometrik yönelimini hesaba katarak belirsizliği çok daha gerçekçi ve dinamik bir şekilde yönetmesini sağlar.

5.3 Ölçüm modeli

Aracın GPS ile yalnızca konum ölçtüğünü varsayalım. Bu durumda ölçüm modeli doğrusaldır:

Bu örnekte doğrusal olmayanlık yalnızca süreç modelindedir. Ölçümün de doğrusal olmaması için bir işaretçiye (xₗ, yₗ) menzil ve açı ölçümü alındığını düşünebiliriz:

, ve diyelim. Bu durumda Jacobian şöyledir:

Tüm değerler tahmin noktasında ile hesaplanır [5]. Mesafe ölçümü ’ye bağlı değildir (üçüncü sütunun ilk elemanı 0), açı ölçümü ise yönelimdeki değişime doğrudan, -1 katsayısıyla bağlıdır.

6. Uygulamada dikkat edilmesi gerekenler

Açı sarmalama

Yönelim durum vektöründeyse veya ölçümde yer alıyorsa, yenilikteki açı farkı (−π, π] aralığına indirgenmelidir. Aksi halde 359° ile 1° arasındaki fark 358° olarak hesaplanır ve filtre büyük, anlamsız bir düzeltme uygular. Aynı durum durum vektöründeki ψ'nin kendisi için de geçerlidir.

Jacobian'ın doğruluğu

Elle türetilen Jacobian'lardaki hatalar, EKF sorunlarının sık görülen bir kaynağıdır. Analitik Jacobian'ı sonlu farklar ile hesaplanan sayısal Jacobian ile karşılaştırmak basit ve etkili bir doğrulama yöntemidir.

Başlangıç değerleri

EKF, doğrusallaştırmanın geçerli kalacağı bir başlangıç tahminine ihtiyaç duyar. Başlangıç hatası büyükse doğrusallaştırma noktası gerçek durumdan uzaklaşır ve filtre ıraksayabilir [7]. Başlangıç kovaryansı da gerçek belirsizliği yansıtmalıdır. Çok küçük seçilirse filtre başlangıç tahminine fazla güvenir ve ilk ölçümleri yeterince dikkate almaz, çok büyük seçilirse ilk güncellemelerde tahmin sıçrar. Köşegen bir ile başlanır. Konum için ilk GPS ölçümünün varyansı, yönelim için ise gerçekten bildiğiniz belirsizlik kullanılır. Hiç bilinmiyorsa aşırı büyük sayılar yerine fiziksel bir üst sınır (örneğin rad) seçilmelidir.

Tutarlılık testleri. 

RMSE tek başına filtrenin kendi belirsizliğini doğru raporladığını göstermez. NEES, tahmin hatasının P ile ne kadar uyumlu olduğunu; NIS ise yeniliklerin S ile uyumunu sınar. İkisi de çok sayıda örnek üzerinden ki-kare tabanlı sınırlarla değerlendirilmelidir. EKF'de bu testlerin önemi daha da artar, çünkü doğrusallaştırma P'nin gerçek hata kovaryansından sapmasına neden olabilir.

Q ve R ayarı. 

Q'nun büyütülmesi filtreyi ölçümlere daha duyarlı, modele ise daha az bağımlı hale getirir. EKF'de kalan doğrusallaştırma hatası genellikle Q'nun bir miktar şişirilmesiyle telafi edilmeye çalışılır, ancak bu ayar bir telafi yöntemidir; gerçek belirsizliğin bir ölçüsü değildir.

7. EKF'nin sınırları ve alternatifler

EKF, optimal bir kestirici değildir. Doğrusallaştırma birinci derecedendir, yani ikinci ve üstü dereceden terimler yok sayılır. Fonksiyon tahmin etrafındaki belirsizlik bölgesinde belirgin biçimde eğriyse, hesaplanan ortalama ve kovaryans gerçek değerlerden sapar. Jacobian'lar gerçek durumda değil tahminde hesaplandığı için, hatalı tahmin hatalı bir doğrusallaştırmaya yol açar ve bu hata zamanla birikebilir. Bazı kararlılık sonuçları yalnızca başlangıç hatasının ve gürültülerin yeterince küçük olması koşullarında geçerlidir [7].

Eşzamanlı konumlama ve haritalama (SLAM) gibi problemlerde ayrıca gözlemlenebilirlik uyumsuzluğu sorunu bildirilmiştir: doğrusallaştırılmış sistem, gerçek sistemin sahip olmadığı bir bilgiyi gözlemlenebilir gösterebilir ve bu da filtrenin kendinden aşırı emin olmasına yol açabilir [8].

Bu sınırlara yönelik başlıca yaklaşımlar şunlardır:

• Yinelemeli EKF (IEKF): Güncelleme adımını, doğrusallaştırma noktasını yeniden seçerek tekrarlar. Güncelleme adımının Gauss-Newton yöntemiyle ilişkisi gösterilmiştir [9].
• Sigma Noktalı Kalman filtresi (UKF): Jacobian hesaplamak yerine dağılımı temsil eden belirli sigma noktalarını fonksiyondan geçirir [10].
• Hata durumlu EKF (ESKF): Doğrudan durumu değil, küçük bir hata durumunu filtreler. Yönelimin kuaterniyonlarla temsil edildiği navigasyon uygulamalarında yaygındır [11].
• Parçacık filtreleri: Gauss varsayımını tamamen terk eder, ancak hesaplama maliyeti yüksektir [5].
• Grafik tabanlı SLAM (Graph-SLAM): Geçmiş konumları düğüm, aralarındaki kısıtları kenar olarak modelleyip tüm yörüngeyi ve haritayı birlikte optimize eder.  

Hangisinin seçileceği, doğrusalsızlığın şiddetine, hesaplama bütçesine ve filtre tutarlılığının ne kadar kritik olduğuna bağlıdır. Hafif doğrusalsızlıklı ve iyi başlatılmış sistemlerde EKF çoğu zaman yeterli ve verimli bir seçimdir.

8. Sonuç

EKF, Kalman filtresinin belirsizlik takibi mantığını doğrusal olmayan sistemlere taşıyan pratik bir yöntemdir. Durum ilerletme ve yenilik hesabında doğrusal olmayan fonksiyonlar, kovaryans ve kazanç hesabında ise o noktadaki Jacobian'lar kullanılır. Bu basit değişiklik güçlüdür, ancak doğrusallaştırmanın geçerliliğine bağlıdır. Başarılı bir EKF uygulaması; doğru türetilmiş Jacobian'lar, açı sarmalama gibi pratik ayrıntılar, makul başlangıç değerleri ve NEES/NIS gibi tutarlılık testleriyle desteklenmelidir.