Kalman Filtresi: Ölçemediğin Bir Şeyi Matematikle Nasıl Tahmin Edersin?

Kalman Filtresi: Ölçemediğin Bir Şeyi Matematikle Nasıl Tahmin Edersin?

Bazen gerçeği doğrudan göremezsin. Yalnızca onun geride bıraktığı izleri ölçersin. Sonra matematik devreye girer ve sana, göremediğin şeyin nerede olabileceğini söyler.

Dünyada ölçebildiğimiz şeylerle gerçekten bilmek istediğimiz şeyler arasında büyük bir uçurum vardır.öBir uçağın konumunu bilmek isteriz ama GPS sinyali gürültülüdür. Bir aracın hızını hesaplamak isteriz ama sensörler kusursuz değildir. Bir robotun nerede olduğunu anlamasını isteriz ama kameralar karanlıkta yanılabilir, tekerlekler kayabilir, mesafe sensörleri hatalı ölçebilir. Sorun yalnızca ölçüm yapamamak değildir. Asıl sorun, ölçüm yapabildiğimiz hâlde gerçeği hiçbir zaman kusursuz ölçemememizdir. 

İşte Kalman filtresi tam bu noktada ortaya çıkar.

Sana gerçeği doğrudan göstermez. Onun yerine, elindeki eksik ve gürültülü bilgilerden hareketle gerçeğin en makul tahminini oluşturur. Yeni bir ölçüm geldiğinde bu tahmini yeniden değerlendirir. Önceki bilgisiyle yeni bilgiyi karşılaştırır, hangisine ne kadar güvenmesi gerektiğini hesaplar ve kendini günceller. Bunu yaparken yalnızca sayıları bir araya getirmez. Bilginin ne kadar güvenilir olduğunu da matematiğin içine katar. Kalman filtresini güçlü yapan şey budur.

1. Görünmeyeni anlamak: Önce bir şeyi varsayman gerekir

Bir otomobilin yolda ilerlediğini düşünün. Aracın gerçek konumunu her an kusursuz biçimde ölçemeyiz. Bu noktada elimizde iki bilgi vardır:

• Aracın önceki konumu ve hızı.
• Sensörün o an için verdiği ölçüm.

Önceki konum ve hız bize aracın nerede olması gerektiğini söyler. Sensör ise aracın nerede olabileceğine dair yeni bir ipucu verir. Fakat ikisi de tek başına yeterli değildir. Aracın hızını bildiğimizi varsayarak konumunu hesaplayabiliriz ancak araç hızlanmış, yavaşlamış veya yön değiştirmiş olabilir.

Farklı bir yol izleyerek, sensörün ölçümüne güvenmeyi tercih edebiliriz ancak bu sefer de sensör hata yapmış olabilir. Peki bu handikap içerisinde, hangisini seçeceğiz? Kalman filtresi bu soruya, “İkisinden birini seçmek zorunda değilsin.” diye cevap verir.  Kalman filtresinde önce sistemin nasıl hareket ettiğine ilişkin bir model kurulur, sonra bu modelin ürettiği tahmin, gerçek dünyadan gelen ölçümle karşılaştırılır. Tahminin ile ölçüm arasındaki fark, yani yenilik, beklenenle gözlemlenenin ne kadar ayrıştığını söyler. Ardından bu farkın ne kadarının mevcut tahminine yansıtılması gerektiğini bakılır, yani hesaplanır. Böylece ölçülemeyen gerçek durum, ölçebilen işaretlerden hareketle adım adım yeniden kurulur.

Bu, bir tahminde bulunmaktan daha fazlasıdır.

Bu, tahminini her yeni kanıt karşısında sınamaktır.

2. Kalman filtresinin kalbi: İki farklı bilgi, tek bir daha iyi tahmin

Kalman filtresinin temelinde çok yalın ama derin bir fikir vardır: Modelin sana ne olması gerektiğini söyler. Ölçüm ise ne olmuş olabileceğini gösterir. Model geleceğe uzanır. Ölçüm şimdiki ana dokunur. Model süreklilik sağlar ama zamanla hatalı hâle gelebilir. Ölçüm gerçeğe yaklaşmanı sağlar ama kendi içinde gürültü taşır. Kalman filtresi bu iki bilgi kaynağını birleştirir ve bunu yaparken hangisinin daha güvenilir olduğunu belirleyen belirsizlikleri hesaba katar.

Örneğin, model aracın konumunu 100 metre olarak tahmin etti fakat sensör 108 metre ölçtü. Bu durumda filtrenin doğrudan 108 metreyi kabul etmesi gerekmez. Aynı şekilde 100 metrede kalması da gerekmez. Modelin belirsizliği düşük, sensörün belirsizliği yüksekse 100 metreye daha fazla ağırlık verir. Sensör güvenilir, model belirsizse 108 metreye daha fazla yaklaşır. İki tarafın da belirsizliği varsa ikisini uygun oranlarda birleştirir. Sonuç, çoğu durumda iki değerin arasında yer alan yeni bir tahmindir. Ancak burada önemli bir ayrıntı var: Kalman filtresi iki sayının basit ortalamasını almaz. Bunun yerine, her bir bilginin ne kadar güvenilir olduğunu matematiksel olarak değerlendirerek tahminini bu doğrultuda günceller. Filtrenin başarısının ardında yatan temel fikir de budur. Çünkü 100 ile 108 arasındaki fark tek başına yeterli bilgi değildir.

Asıl soru şudur: 100'ü ne kadar ciddiye almalıyım? 108'e ne kadar güvenmeliyim? Kalman filtresi için mesele, iki sayıdan birini seçmek değil, her ikisinin de ne kadar belirsizlik taşıdığını anlamaktır. Bunu, mevcut tahmini yeni ölçümlerle birleştirerek yapar; arkasındaki temel düşünce ise Bayesçi çıkarım yaklaşımıyla yakından ilişkilidir.

3. Matematiğin içindeki sezgi: Kalman kazancı

Kalman filtresinin bu dengeyi kurmasını sağlayan temel büyüklüklerden biri Kalman kazancıdır. En basit tek boyutlu durumda kazanç şöyle yazılabilir:

 Burada:

•     : Ölçüm gelmeden önceki tahminin belirsizliği.

• R: Sensör ölçümünün belirsizliği.
• K: Yeni ölçüme ne kadar ağırlık verileceğini belirleyen kazanç.

Bu formülün içinde çok önemli bir fikir gizlidir: Eğer önceki tahminin çok belirsizse, yeni ölçüm daha fazla önem kazanır fakat eğer sensör çok gürültülüyse, önceki tahmine daha fazla güvenilir. Kazanç, bu iki belirsizlik arasındaki dengeyi kurar. Ardından tahmin güncellenir:

Burada:

•     , ölçüm öncesi tahmindir.
• z, sensörün ölçümüdür.
• , tahmin ile ölçüm arasındaki farktır.
• , ölçüm sonrasındaki yeni tahmindir.

Formülü kelimelere dökmek istersek, bizi şöyle bir eşitlik karşılar:

Yeni tahmin = Eski tahmin + Güven ağırlığı × Tahmin hatası

Bütün mesele, bu hatanın ne kadarını düzeltme olarak kabul edeceğini bilmektir. Diyelim ki aracın konumu 100 metre tahmin edildi. Sensör 108 metre ölçtü. Kalman kazancı 0,25 olsun. Yeni tahmin:

100 + 0,25(108-100) = 102

Artık tahminin 100 değil, 102 metredir. Sensörün söylediği 108 metre bütünüyle kabul edilmedi. Önceki tahmine de körü körüne bağlı kalınmadı. Yeni kanıtı dikkate alındı ama o da güvenilirlik derecesine göre değerlendirildi.

İşte filtrenin yaptığı budur. Her ölçümde yeniden düşünmek, her yeni kanıtla biraz daha doğruya yaklaşmak.

4. Asıl mesele tahmin etmek değil, ne kadar yanılabileceğini bilmektir

Kalman filtresini yalnızca bir konum veya hız hesaplama algoritması olarak görmek, onun en önemli yönünü kaçırmak olur. Çünkü filtre sadece tahmin üretmez. Aynı zamanda tahmininin ne kadar belirsiz olduğunu da takip eder.

Buna kovaryans denir. Kovaryans matrisi, tahmin edilen durumların belirsizliklerini ve birbirleriyle olan ilişkilerini temsil eder. Örneğin bir aracın konumu ve hızı aynı anda tahmin ediliyorsa, konum belirsizliği ile hız belirsizliği birbirinden bağımsız olmayabilir. Hız tahminindeki bir hata, bir süre sonra konum tahminindeki hatayı da büyütebilir. Kalman filtresi bu ilişkileri matematiksel olarak izler. Sistem hareket ettikçe belirsizlik genellikle artar. Yeni bir ölçüm geldiğinde ise ölçümün sağladığı bilgi, uygun koşullarda belirsizliği azaltır. Bu yüzden Kalman filtresinin iki ayrı işi vardır:

1. Sistemin şu anda nerede veya hangi durumda olduğunu tahmin etmek.
2. Bu tahminin ne kadar güvenilir olduğunu hesaplamak.

İkinci madde,  en az birincisi kadar önemlidir. Çünkü bir sistemin yalnızca ne düşündüğünü değil, ne kadar emin olduğunu da bilmesi gerekir. 100 metre tahmin edip bundan çok emin olmakla, 100 metre tahmin edip ciddi biçimde yanılabileceğini bilmek aynı şey değildir. İyi bir tahmin sistemi bu farkı anlayabilmelidir.

5. Bir adım sonrasını nasıl görür?

Kalman filtresi yalnızca geçmiş ölçümleri değerlendirmez. Sistemin bir sonraki durumda nerede olacağını da tahmin eder. Bunu iki temel aşamada gerçekleştirir: tahmin ve güncelleme. Tahmin aşamasında, sistemin mevcut durumundan hareketle bir sonraki durum hesaplanır:

Burada F, sistemin hareket modelini; , bilinen kontrol girdisini; B ise bu girdinin sisteme nasıl etki ettiğini temsil eder. Ardından tahminin belirsizliği de ileri taşınır:

Buradaki Q, modelin hesaba katamadığı süreç belirsizliğini temsil eder. Gerçek dünya, matematiksel modelin çizdiği yoldan her zaman ilerlemez. Bir araç beklenmedik şekilde hızlanabilir. Bir robot zemindeki kayma nedeniyle planlanandan farklı hareket edebilir. Bir uçağın dinamiği, modeldeki varsayımlardan sapabilir. Q, bu tür model belirsizliklerinin tahmine nasıl yansıtıldığını ifade eder.

Sonra ölçüm gelir. Ölçüm modeliyle tahmin karşılaştırılır ve Kalman kazancı hesaplanır. Yeni bilgi kullanılarak durum tahmini güncellenir:

Belirsizlik de yeni ölçüme göre güncellenir. Ardından döngü yeniden başlar. Tahmin et. Ölç. Karşılaştır. Güncelle. Yeniden tahmin et. Bu döngü, sistem çalıştığı sürece devam eder. Kalman filtresinin gücü tek bir anda doğru cevabı bulmasından değil, zaman içinde gelen bilgileri tutarlı bir biçimde işlemesinden doğar.

6. Peki ya ölçemediğin şey, sensörün doğrudan görmediği bir şeyse?

Şimdi daha ilginç bir örnek düşünelim. Bir aracın hızını doğrudan ölçen bir sensörün olmadığını varsayalım. Elinde yalnızca belirli aralıklarla konum ölçümü veren bir sensör var. Hızı nasıl bulacaksın? İlk bakışta cevap basit görünür:

Hız, konumdaki değişimin geçen zamana bölünmesiyle hesaplanır. Ancak gerçek sensörler kusursuz değildir; konum ölçümleri her zaman belirli bir miktarda gürültü içerir. Ardışık iki ölçüm arasındaki fark alındığında bu gürültünün etkisi büyüyebilir ve hesaplanan hızın sürekli dalgalanmasına neden olabilir. Kalman filtresi, bu sorunu ele almak için konum ve hızı birlikte içeren bir durum vektörü tanımlar:

Burada  konumu,   ise hızı temsil eder. Sistem modelin, aracın kısa bir zaman aralığında yaklaşık sabit hızla hareket ettiğini varsaysın. O zaman:

Konum ölçümü ise şöyle olsun:

Dikkat: Ölçüm denkleminde hız yoktur. Sensör sana yalnızca konumu söyler. Ama model, konum ile hız arasındaki ilişkiyi bilir. Zaman içinde gelen konum ölçümleri de bu ilişkiyi sınar. Böylece filtre, hızı doğrudan ve ölçmeden tahmin edebilir.

Bu, ölçülmeyen her şeyin tahmin edilebileceği anlamına gelmez. Ölçülmeyen bir büyüklüğün, gözlemlenen büyüklüklerle ve sistemin dinamikleriyle yeterince ilişkili olması gerekir. Kontrol ve kestirim teorisinde buna gözlemlenebilirlik denir. Eğer farklı hızlar aynı ölçüm geçmişini üretebiliyorsa ve bunları birbirinden ayıracak başka bir bilgi yoksa, hiçbir algoritma yalnızca matematik sayesinde gerçek hızı kesin olarak bilemez. Matematik eksik bilgiyi sihirle tamamlamaz. Ama eksik bilginin içindeki yapıyı bulabilir. Ve bazen bu yapı, doğrudan ölçemediğin bir şeyi oldukça iyi tahmin etmene yeter.

7. Kalman filtresi neden bu kadar güçlüdür?

Çünkü belirsizliği bir kusur olarak görmez. Belirsizliği, hesaplamanın içine alınması gereken bir bilgi olarak görür. Geleneksel bir yaklaşım, sensörün söylediği sayıyı alıp kullanabilir. Kalman filtresi ise o sayının hangi koşullarda üretildiğini, ne kadar gürültülü olabileceğini ve önceki bilgilerle ne ölçüde tutarlı olduğunu da hesaba katar. Üstelik bunu her yeni ölçümde yeniden yapar. Bu yüzden Kalman filtresi şu alanlarda önemli bir rol oynar:

• Otonom araçlar: Konum, hız ve hareket durumunun kestirimi.
• Robotik: Robotun nerede olduğunu ve nasıl hareket ettiğini belirleme.
• Havacılık: Navigasyon ve hareket durumunun kestirimi.
• Uydu sistemleri: Konum ve yörünge tahmini.
• Sinyal işleme: Gürültülü verilerden daha anlamlı sinyaller elde etme.
• Endüstriyel kontrol: Doğrudan ölçülemeyen süreç değişkenlerinin kestirimi.

Ancak burada bir ayrıntıyı unutmamak gerekir: Klasik Kalman filtresi, doğrusal sistemlerde ve uygun istatistiksel varsayımlar altında özellikle güçlüdür. Süreç ve ölçüm gürültülerinin sıfır ortalamalı, uygun kovaryanslara sahip ve standart türetimde birbirleriyle ilişkisiz olması gibi varsayımlar önemlidir. Gauss dağılımlı gürültü varsayımı altında doğrusal sistemler için en iyi doğrusal olmayan değil, doğrusal kestiriciler arasında değil, genel olarak minimum ortalama kare hatalı durum kestirimini sağlayan çözümdür.

Doğrusal olmayan sistemlerde ise genişletilmiş Kalman filtresi (EKF) veya Sigma Noktalı Kalman Filtresi (UKF) gibi yöntemler kullanılabilir. Bunlar farklı varsayımlarla çalışır ve her durumda kusursuz sonuç garanti etmez. Çünkü en iyi algoritma bile kötü bir modelin, yanlış gürültü varsayımlarının veya yetersiz ölçümlerin bütün sonuçlarını ortadan kaldıramaz. Kalman filtresi güçlüdür fakat sihirli değildir. Gücünü, gerçeğin eksik ve kusurlu bilgilerini tutarlı bir matematiksel çerçevede birleştirmesinden alır.

8. Kalman filtresinin bize öğrettiği şey

Bir an için mühendisliği bir kenara bırakalım ve Kalman filtresinin temelindeki fikre başka bir açıdan bakalım. Bir şey hakkında tahminde bulunuruz, sonra yeni bir bilgi gelir. Bazen, bu bilgi bizi doğrularken bazen de yanıldığımızı gösterir. İnsan zihni çoğu zaman kendi tahminine bağlanır. İlk düşündüğü şeyi savunur. Yeni kanıtları mevcut inancına uydurmaya çalışır. Hatasını kabul etmek yerine, hatasını açıklayacak gerekçeler arar.

Kalman filtresi ise önceki tahminini korumayı bir amaç hâline getirmez. Yeni ölçüm geldiğinde ona bakar. Ama ölçümü de sorgusuz sualsiz kabul etmez. İki bilgi kaynağının da yanılabileceğini bilir. Hangisinin ne kadar güvenilir olduğuna ilişkin varsayımlarını açıkça tanımlar. Sonra bu bilgileri matematiksel olarak birleştirir. Bu açıdan bakıldığında, Kalman filtresinin temelinde bir tür entelektüel disiplin vardır:

Ne geçmişe körü körüne bağlanmak ne de yeni gelen her bilgiye sorgusuzca teslim olmak. Geçmiş önemlidir, çünkü bugünü anlamamıza yardımcı olur. Yeni kanıt önemlidir, çünkü geçmişteki tahminimizi değiştirebilir ama ikisi de kendi başına mutlak gerçek değildir. Bu düşünceyi hayatın her alanına doğrudan uygulamak elbette mümkün değildir. İnsan davranışları, toplumsal ilişkiler ve ahlaki kararlar birkaç denklemle çözülemez. İnsanların inançlarını yalnızca sayısal belirsizliklerle açıklamak da doğru olmaz. Yine de bilimsel düşüncenin merkezindeki ilkeyi hatırlatır: Bir fikre sahip olmak değerlidir fakat o fikrin ne zaman değişmesi gerektiğini bilmek de en az onun kadar değerlidir.

Sonuç: Gerçek, tek bir ölçümün içinde değil; ölçümler arasındaki ilişkidedir.

Kalman filtresinin yaptığı şey, ilk bakışta basit görünebilir. Bir tahmin oluşturur, bir ölçüm alır ve ikisini karşılaştırıp yeni bir tahmin üretir. Ama bu basit döngünün içinde son derece güçlü bir düşünce vardır. Dünya kusursuz ölçümler sunmaz. Modeller gerçeğin tamamını temsil etmez. Sensörler hata yapar. Tahminler zamanla sapar. Bildiğimiz şeyler bile belirli bir belirsizlik taşır.  Buna rağmen doğru matematiksel yapı kurulduğunda, eksik bilgiden anlamlı sonuçlar çıkarabiliriz. Doğrudan göremediğimiz bir hızı konumdan, anlık olarak güvenilir ölçemediğimiz bir konumu geçmiş hareketten, gürültülü gözlemlerden ise daha tutarlı bir durum tahmininden yararlanarak anlayabiliriz. Burada önemli olan, bilmediğimiz şeyi biliyormuş gibi yapmak değildir. Önemli olan, ne bildiğimizi, neyi tahmin ettiğimizi ve ne kadar yanılabileceğimizi birbirinden ayırabilmektir.

Kalman filtresi bize gerçeğe ulaşmanın her zaman tek bir kusursuz ölçüm bulmak anlamına gelmediğini gösterir. Bazen gerçeğe yaklaşmak, birbirinden farklı ve kusurlu bilgileri doğru biçimde birleştirmek demektir. Çünkü ölçemediğin bir şey hakkında düşünmenin yolu, her zaman daha iyi bir sensör bulmaktan geçmez. Bazen daha iyi bir modele, belirsizliği doğru ifade eden bir matematiğe ve yeni kanıt geldiğinde tahminini değiştirebilecek bir sisteme ihtiyacın vardır.

Ve belki de Kalman filtresinin en derin mesajı tam olarak budur: Gerçeği her an kusursuz biçimde bilemeyebilirsin. Ama belirsizliğini anlayabilir, hatanı ölçebilir ve her yeni bilgiyle ona biraz daha yaklaşabilirsin.

Matematik sana her zaman kesinliği vermez.

Bazen ondan daha değerli bir şey verir:

Belirsizliğin içinde, neye ne kadar güvenmen gerektiğini bilme yeteneği.